Primer, identifiquem els elements característics:

• Vector director de la recta: $\vec{v_r} = (1, 1, -1)$.
• Vector normal del pla: $\vec{n_{\pi}} = (2, -1, 1)$.

Analitzem si són perpendiculars mitjançant el producte escalar:

$$\vec{v_r} \cdot \vec{n_{\pi}} = (1 \cdot 2) + (1 \cdot -1) + (-1 \cdot 1) = 2 - 1 - 1 = 0$$

Com que el producte escalar és nul, la recta és paral·lela al pla o hi està continguda. Comprovem si el punt $A(1, 0, 1)$ de la recta (per a $\lambda=0$) pertany al pla $2x - y + z + 2 = 0$:

$$2(1) - (0) + (1) + 2 = 5 \neq 0$$

Com que el punt no satisfà l'equació, la recta no està continguda al pla.

$$\boxed{\text{La recta } r \text{ i el pla } \pi \text{ són paral·lels.}}$$

La projecció ortogonal $P'$ és el punt d'intersecció entre el pla i una recta $s$ perpendicular al pla que passa per $P$. El vector director de $s$ serà el normal del pla $\vec{n_{\pi}} = (2, -1, 1)$:

$$s \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\mu \\ y = -\mu \\ z = 1 + \mu \end{cases}$$

Substituïm les coordenades de la recta $s$ en l'equació del pla $\pi$ ($2x - y + z + 2 = 0$):

$$2(1 + 2\mu) - (-\mu) + (1 + \mu) + 2 = 0$$ $$2 + 4\mu + \mu + 1 + \mu + 2 = 0 \implies 6\mu + 5 = 0 \implies \mu = -\frac{5}{6}$$

Ara calculem les coordenades de $P'$ substituint $\mu$ a l'equació de $s$:

$$x = 1 + 2\left(-\frac{5}{6}\right) = 1 - \frac{5}{3} = -\frac{2}{3}$$ $$y = -\left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{5}{6}$$ $$z = 1 + \left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{1}{6}$$ $$\boxed{P' = \left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{6}, \frac{1}{6}\right)}$$

Com que la recta i el pla són paral·lels, la distància de la recta al pla és constant i igual a la distància de qualsevol punt de la recta (com $P(1,0,1)$) al pla:

$$d(r, \pi) = d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ $$d(P, \pi) = \frac{|2(1) - 1(0) + 1(1) + 2|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 1 + 2|}{\sqrt{6}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$$

Racionalitzant el denominador:

$$\boxed{d(r, \pi) = \frac{5\sqrt{6}}{6} \approx 2.04 \text{ unitats}}$$