Resolució

Per calcular l'angle $\alpha$ que formen dues rectes, primer hem d'extreure els seus vectors directors $\vec{v_1}$ i $\vec{v_2}$ i després aplicar la fórmula del producte escalar:

$$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$$

1. Extracció dels vectors directors

• Recta $r_1$: Està donada en forma contínua. Cal fixar-se que el terme $4-z$ s'ha de reescriure com $\frac{z-4}{-1}$ per mantenir l'estructura estàndard. Els denominadors ens donen el vector: $$\vec{v_1} = (3, 1, -1)$$
• Recta $r_2$: Està definida com la intersecció de dos plans. El seu vector director és el producte vectorial dels vectors normals dels plans $\vec{n_1} = (4, 1, 1)$ i $\vec{n_2} = (5, 2, -1)$: $$\vec{v_2} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1-2)\mathbf{i} - (-4-5)\mathbf{j} + (8-5)\mathbf{k} = (-3, 9, 3)$$ Podem simplificar el vector (per facilitar els càlculs) dividint per $3$: $\vec{v_2} = (-1, 3, 1)$.

2. Càlcul de l'angle

Calculem els components de la fórmula:

• Producte escalar: $|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}| = |(3)(-1) + (1)(3) + (-1)(1)| = |-3 + 3 - 1| = |-1| = 1$
• Mòdul de $\vec{v_1}$: $|\vec{v_1}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1+1} = \sqrt{11}$
• Mòdul de $\vec{v_2}$: $|\vec{v_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$

Substituïm en la fórmula:

$$\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{11}} = \frac{1}{11}$$ $$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{11}\right) \approx 84.78^\circ$$

La solució final és:

$$\boxed{\alpha \approx 84.78^\circ}$$