Paral·leles i perpendiculars

Determineu si les rectes $r: 2x - 3y = 6$ i $s: (x, y) = (1, 2) + k(3, 2)$ són paral·leles, perpendiculars o cap de les dues.

Solució:

Primer, extraiem el vector director de cada recta:

Per a la recta $r$ (equació general $Ax + By = C$), el vector director és $\vec{v_r} = (-B, A) = (3, 2)$.
Per a la recta $s$ (equació vectorial), el vector director és directament $\vec{v_s} = (3, 2)$.

Com que els vectors directors són idèntics, les rectes tenen la mateixa pendent. Comprovem si són coincidents o paral·leles mirant si el punt $P_s = (1, 2)$ de la recta $s$ pertany a $r$: $2(1) - 3(2) = 2 - 6 = -4 \neq 6$. Com que el punt no satisfà l'equació, les rectes són: $$\text{\boxed{Paral·leles}}$$

Trobeu l'equació general de la recta $t$ que passa pel punt $P = (-1, 4)$ i és perpendicular a la recta $r: 5x + 2y = 10$.

Solució:

El vector director de la recta donada $r$ és $\vec{v_r} = (-B, A) = (-2, 5)$. Perquè la recta $t$ sigui perpendicular, el seu vector director $\vec{v_t}$ ha de ser ortogonal a $\vec{v_r}$. Un vector ortogonal a $(v_x, v_y)$ és $(-v_y, v_x)$, per tant: $$\vec{v_t} = (5, 2)$$ L'equació general de $t$ tindrà la forma $Ax + By = C$, on $(A, B) = (2, -5)$ (vector normal). Substituïm el punt $P = (-1, 4)$ per trobar $C$: $$2(-1) - 5(4) = -2 - 20 = -22 \implies C=-22$$ L'equació resultant és: $$\boxed{2x - 5y = -22}$$

Determineu l'equació general de la recta $s$ que passa pel punt $P = (3, -2)$ i és paral·lela a la recta $r: (x, y) = (0, 5) + k(4, -1)$.

Solució:

Si la recta $s$ és paral·lela a $r$, han de compartir el mateix vector director o un de proporcional. Utilitzem: $$\vec{v_s} = \vec{v_r} = (4, -1)$$ A partir del vector director $(v_x, v_y) = (4, -1)$, sabem que els coeficients de l'equació general $Ax + By = C$ compleixen que $(-B, A) = (4, -1)$, d'on extraiem: $$A = -1, \quad B = -4$$ (O simplificant els signes: $A = 1, B = 4$). L'equació té la forma $x + 4y = C$. Substituïm el punt $P = (3, -2)$ per calcular $C$: $$(1)(3) + 4(-2) = 3 - 8 = -5 \implies C=-5$$ Per tant, l'equació de la recta paral·lela és: $$\boxed{x + 4y = -5}$$

Són perpendiculars les rectes $r: 3x - 2y = 1$ i $s: 4x + 6y = 5$?

Solució:

Extraiem els vectors directors de cada recta a partir dels coeficients $(A, B)$ de les seves equacions generals:

Per a $r: 3x - 2y = 1 \implies \vec{v_r} = (-B, A) = (2, 3)$
Per a $s: 4x + 6y = 5 \implies \vec{v_s} = (-B, A) = (-6, 4)$

Dues rectes són perpendiculars si el producte escalar dels seus vectors directors és zero: $$\vec{v_r} \cdot \vec{v_s} = 0$$ $$\vec{v_r} \cdot \vec{v_s} = (2)(-6) + (3)(4) = -12 + 12 = 0$$ Com que el producte escalar és nul, els vectors (i per tant les rectes) són: $$\boxed{\text{Perpendiculars}}$$

Trobeu l'equació general de la recta $s$ que passa pel punt $P = (5, 0)$ i és paral·lela a la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-3}$.

Solució:

De l'equació contínua de $r$, llegim directament el seu vector director a partir dels denominadors: $$\vec{v_r} = (2, -3)$$ Com que $s$ ha de ser paral·lela a $r$, prendrem el mateix vector director: $$\vec{v_s} = (2, -3)$$ A partir del vector $(v_x, v_y) = (2, -3)$, construïm l'equació general $Ax + By = C$. Sabem que $(A, B)$ és un vector normal, per tant $(A, B) = (3, 2)$. L'equació té la forma $3x + 2y = C$. Substituïm el punt $P = (5, 0)$: $$3(5) + 2(0) = 15$$ L'equació de la recta és: $$\boxed{3x + 2y = 15}$$

Determineu l'equació general de la recta $t$ que passa per l'origen de coordenades $P = (0, 0)$ i és perpendicular a la recta $r: y = \frac{1}{4}x - 2$.

Solució:

La recta $r$ està en forma explícita $y = mx + n$. El seu pendent és $m_r = 1/4$. Podem expressar el seu vector director com $$\vec{v_r} = (4, 1)$$ Perquè la recta $t$ sigui perpendicular, el seu vector director $\vec{v_t}$ ha de complir el producte escalar nul. Intercanviem components i canviem un signe: $$\vec{v_t} = (-1, 4)$$ L'equació general $Ax + By = C$ tindrà coeficients $(A, B) = (4, 1)$ (vector normal perpendicular al director de $t$). Així, $4x + y = C$. Com que la recta passa per l'origen $P = (0, 0)$, substituim el punt P a l'equació que hem trobat per veure quin és el valor de $C$: $$4(0) + 1(0) = 0 \implies C=0$$ L'equació de la recta és: $$\boxed{4x + y = 0}$$