Llista Graella
Solucions individuals Solucions agrupades

Paral·leles i perpendiculars (II)

Considera la recta $r$ definida per l'equació general $3x - 4y + 8 = 0$ i els punts $A(2, 5)$ i $B(-1, 2)$.
a)
Troba l'equació explícita de la recta $s$ que és paral·lela a $r$ i passa pel punt $A$.
b)
Troba l'equació general de la recta $t$ que és perpendicular a $r$ i passa pel punt $B$.
c)
Calcula el punt d'intersecció entre la recta $r$ i la recta $t$ trobada a l'apartat anterior.
d)
Fes una representació gràfica de la situació.

Solucions dels apartats

a) El pendent de $r$ s'obté aïllant $y$: $4y = 3x + 8 \rightarrow y = \frac{3}{4}x + 2$. Per tant, $m_r = \frac{3}{4}$. Com que $s \parallel r$, llavors $m_s = \frac{3}{4}$. Fem servir el punt $A(2, 5)$: $$y - 5 = \frac{3}{4}(x - 2) \rightarrow y = \frac{3}{4}x - \frac{6}{4} + 5$$ $$\boxed{y = \frac{3}{4}x + \frac{7}{2}}$$

b) Si $t \perp r$, el seu pendent és l'invers oposat: $m_t = -\frac{1}{m_r} = -\frac{4}{3}$. Fem servir el punt $B(-1, 2)$ en l'equació punt-pendent: $$y - 2 = -\frac{4}{3}(x + 1) \rightarrow 3y - 6 = -4x - 4$$ $$\boxed{4x + 3y - 2 = 0}$$

c) Resolem el sistema d'equacions lineals: $$\begin{cases} 3x - 4y = -8 \\ 4x + 3y = 2 \end{cases}$$ Multipliquem la primera per 3 i la segona per 4: $$\begin{cases} 9x - 12y = -24 \\ 16x + 12y = 8 \end{cases}$$ Sumant les equacions: $25x = -16 \rightarrow x = -16/25$. Substituint: $y = 38/25$. $$\boxed{P \left( -\frac{16}{25}, \frac{38}{25} \right)}$$