a)

Plantegem la matriu ampliada del sistema format per la recta $r$ i el pla $\pi$:

$$A' = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & 10 \\ 1 & -1 & 2 & 5 \end{array}\right)$$

1. Primer pas d'esglaonament:

Fem zero els elements sota el primer pivote ($a_{11}=1$) utilitzant les operacions:

• $F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$
• $F_3 \leftarrow F_3 - F_1$

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -1 & 10 \\ 0 & -2 & 1 & 5 \end{array}\right)$$

2. Segon pas d'esglaonament:

Fem zero l'element sota el segon pivote ($a_{22}=-3$). Per evitar fraccions, podem fer l'operació:

• $F_3 \leftarrow 3F_3 - 2F_2$

Càlcul de la nova $F_3$: $3(0, -2, 1 | 5) - 2(0, -3, -1 | 10) = (0, -6+6, 3+2 | 15-20) = (0, 0, 5 | -5)$ $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -1 & 10 \\ 0 & 0 & 5 & -5 \end{array}\right)$$

3. Discussió del sistema:

Un cop la matriu està esglaonada, n'analitzem els rangs:

• Rang(A): Hi ha 3 files no nul·les en la part dels coeficients. $\text{rang}(A) = 3$.
• Rang(A'): Hi ha 3 files no nul·les en la matriu ampliada. $\text{rang}(A') = 3$.
• Nombre d'incògnites: 3 ($x, y, z$).

Segons el Teorema de Rouché-Frobenius, com que $\text{rang}(A) = \text{rang}(A') = 3$, el sistema és Compatible Determinat. Això implica que hi ha una única solució, és a dir, un únic punt comú.

Conclusió geomètrica:

Com que el sistema té una solució única, la recta i el pla es tallen en un sol punt. $$\boxed{\text{La recta i el pla són secants}}$$

b)

Per definir la recta $s$, necessitem un punt i un vector director:

1. Punt: Com que la recta $s$ ha de tallar $r$ i estar continguda en $\pi$, ha de passar per força pel punt d'intersecció trobat a l'apartat anterior: $P(4, -3, -1)$.

2. Vector director ($\vec{v_s}$):

• Si $s$ està en $\pi$, el seu vector director ha de ser perpendicular al normal del pla $\vec{n_\pi} = (1, -1, 2)$.
• Si $s$ és perpendicular a $r$, el seu vector director ha de ser perpendicular al director de $r$ ($\vec{v_r}$).

Primer trobem $\vec{v_r}$:

$$\vec{v_r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (2, 1, -3)$$

Ara trobem $\vec{v_s}$ fent el producte vectorial de $\vec{n_\pi}$ i $\vec{v_r}$:

$$\vec{v_s} = \vec{n_\pi} \times \vec{v_r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = (3-2)\mathbf{i} - (-3-4)\mathbf{j} + (1+2)\mathbf{k} = (1, 7, 3)$$

3. Equació contínua: Amb el punt $P(4, -3, -1)$ i el vector $\vec{v_s} = (1, 7, 3)$:

$$\boxed{\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 3}{7} = \frac{z + 1}{3}}$$