a)

1. Extraiem el vector director de $r_1$ directament del denominador: $\vec{v_1} = (3, 2, -4)$.

2. Calculem el vector director de $r_2$ mitjançant el producte vectorial dels vectors normals dels plans que la defineixen:

$$\vec{v_2} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (1+2)\mathbf{i} - (2-4)\mathbf{j} + (-2-2)\mathbf{k} = (3, 2, -4)$$

3. Com que $\vec{v_1} = \vec{v_2}$, els vectors directors són iguals (proporcionals). Cal comprovar que no són la mateixa recta veient si un punt de $r_1$, com $P_1(-5, 1, 2)$, no pertany a $r_2$:

$$2(-5) + (1) + 2(2) + 5 = -10 + 1 + 4 + 5 = 0 \quad (\text{Pertany al primer pla})$$ $$2(-5) - (1) + (2) + 11 = -10 - 1 + 2 + 11 = 2 \neq 0 \quad (\text{No pertany al segon pla})$$

Com que tenen el mateix vector director però no comparteixen tots els punts:

$$\boxed{Paral·leles}$$

b)

Per determinar el pla $\pi$, necessitem un punt i dos vectors directors no proporcionals que estiguin en el pla.

1. Punts i vectors:

• Punt de $r_1$: $P_1 = (-5, 1, 2)$
• Vector director de les rectes: $\vec{v} = (3, 2, -4)$
• Necessitem un segon vector $\vec{u}$ que vagi d'una recta a l'altra. Trobem un punt $P_2$ de $r_2$. Si fem $z=0$ en el sistema de $r_2$: $$\begin{cases} 2x + y = -5 \\ 2x - y = -11 \end{cases} \implies 4x = -16 \implies x = -4; \quad y = 3 \implies P_2 = (-4, 3, 0)$$
• Segon vector director del pla: $\vec{u} = \vec{P_1P_2} = (-4 - (-5), 3 - 1, 0 - 2) = (1, 2, -2)$

2. Equació general: Fem el determinant amb un punt genèric $(x,y,z)$ i els vectors $\vec{v}$ i $\vec{u}$:

$$\begin{vmatrix} x+5 & y-1 & z-2 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x+5)(-4+8) - (y-1)(-6+4) + (z-2)(6-2) = 0$$ $$4(x+5) + 2(y-1) + 4(z-2) = 0$$ $$4x + 20 + 2y - 2 + 4z - 8 = 0 \implies 4x + 2y + 4z + 10 = 0$$

Dividint tota l'equació per 2 per simplificar:

$$\boxed{2x + y + 2z + 5 = 0}$$