1. Equació general del pla $\pi$ que passa per $A, B$ i $C$:

Primer trobem dos vectors directors del pla: $$\vec{AB} = B - A = (0-2, 2-1, 0-0) = (-2, 1, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (-3-2, 0-1, 0-0) = (-5, -1, 0)$$ El vector normal $\vec{n}$ s'obté mitjançant el producte vectorial: $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 1 & 0 \\ -5 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 7)$$ Podem simplificar el vector normal a $\vec{n} = (0, 0, 1)$. L'equació del pla és $0x + 0y + 1z + D = 0$. Substituint el punt $A(2,1,0)$, trobem que $0+D=0 \implies D=0$. $$\pi: z = 0$$

2. Recta $r$ perpendicular al pla que passa per $D(1, 1, 2)$:

La recta té com a vector director el vector normal del pla $\vec{v_r} = \vec{n} = (0, 0, 1)$: $$r: \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 2 + t \end{cases}$$

3. Punt $Q$ d'intersecció entre el pla i la recta:

Substituïm les coordenades de la recta en l'equació del pla ($z=0$): $$2 + t = 0 \implies t = -2$$ Substituint $t = -2$ en les equacions de la recta $r$: $$Q = (1, 1, 2 + (-2)) = (1, 1, 0)$$

4. Punt simètric $D'$ mitjançant el vector $\vec{DQ}$:

Primer calculem el vector $\vec{DQ}$: $$\vec{DQ} = Q - D = (1-1, 1-1, 0-2) = (0, 0, -2)$$ Finalment, apliquem la fórmula $D' = D + 2\vec{DQ}$: $$D' = (1, 1, 2) + 2(0, 0, -2)$$ $$D' = (1, 1, 2) + (0, 0, -4) = (1, 1, -2)$$ $$\boxed{D' = (1, 1, -2)}$$