Totes les equacions de la recta

a)

Recta per $P(-7,4)$ i $Q(1,2)$

Solució:

Càlculs previs:
Punt: $P(-7, 4)$
Vector director: $\vec{v} = \vec{PQ} = (1 - (-7), 2 - 4) = (8, -2) \equiv (4, -1)$
Nota: Podem simplificar el vector dividint per 2 les components. Mantindrà la mateixa direcció però treballarem amb nombres més petits.
Pendent: $m = \frac{-1}{4}$

Vectorial: $(x,y) = (-7, 4) + t(4, -1)$
Paramètrica: $\begin{cases} x = -7 + 4t \\ y = 4 - t \end{cases}$
Contínua: $\frac{x+7}{4} = \frac{y-4}{-1}$
Punt-pendent: $y - 4 = -\frac{1}{4}(x + 7)$
Explícita: $y = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{4}$
General: $x + 4y - 9 = 0$ o també $x+4y=9$

b)

Recta per $P(3,-2)$ i $Q(1,3)$

Solució:

Punt: $P(3, -2)$
Vector director: $\vec{v} = \vec{PQ} = (1 - 3, 3 - (-2)) = (-2, 5)$
Pendent: $m = \frac{5}{-2}$

Vectorial: $(x,y) = (3, -2) + t(-2, 5)$
Paramètrica: $\begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = -2 + 5t \end{cases}$
Contínua: $\frac{x-3}{-2} = \frac{y+2}{5}$
Punt-pendent: $y + 2 = -\frac{5}{2}(x - 3)$
Explícita: $y = -\frac{5}{2}x + \frac{11}{2}$
General: $5x + 2y - 11 = 0$ o també $5x+2y=11$

c)

$\frac{x-1}{3}=\frac{y-5}{4}$

Solució:

Punt: $(1, 5)$, Vector: $(3, 4)$, Pendent: $m = \frac{4}{3}$

Vectorial: $(x,y) = (1, 5) + t(3, 4)$
Paramètrica: $\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 5 + 4t \end{cases}$
Punt-pendent: $y - 5 = \frac{4}{3}(x - 1)$
Explícita: $y = \frac{4}{3}x + \frac{11}{3}$
General: $4x - 3y + 11 = 0$ o també $4x-3y=-11$

d)

$(x,y)=(0,3) + t(2,1)$

Solució:

Punt: $(0, 3)$, Vector: $(2, 1)$, Pendent: $m = \frac{1}{2}$

Paramètrica: $\begin{cases} x = 2t \\ y = 3 + t \end{cases}$
Contínua: $\frac{x}{2} = \frac{y-3}{1}$
Punt-pendent: $y - 3 = \frac{1}{2}(x - 0)$
Explícita: $y = \frac{1}{2}x + 3$
General: $x - 2y + 6 = 0$ o també $x - 2y = -6$

e)

$y=3x-1$

Solució:

Punt: $(0, -1)$, Pendent: $m = 3 \implies \vec{v} = (1, 3)$

Vectorial: $(x,y) = (0, -1) + t(1, 3)$
Paramètrica: $\begin{cases} x = t \\ y = -1 + 3t \end{cases}$
Contínua: $\frac{x}{1} = \frac{y+1}{3}$
Punt-pendent: $y + 1 = 3(x - 0)$
General: $3x - y - 1 = 0$ o també $3x - y = 1$

f)

$2x+y-5=0$

Solució:

Per trobar el vector director, només cal observar els coeficients de $x$ i $y$. En aquest cas, $A=2$ i $B=1$, per tant $\vec{v}=(-1,2)$.

Per trobar un punt de la recta, podem suposar que $x=0$ i veure quant valdrà $y$. En aquest cas, si $x=0 \implies y=5$ per tant $P=(0, 5)$

.

Vectorial: $(x,y) = (0, 5) + t(-1, 2)$
Paramètrica: $\begin{cases} x = -t \\ y = 5 + 2t \end{cases}$
Contínua: $\frac{x}{-1} = \frac{y-5}{2}$
Punt-pendent: $y - 5 = -2(x - 0)$
Explícita: $y = -2x + 5$

g)

$y-3=3(x-5)$

Solució:

Punt: $(5, 3)$, Pendent: $m = 3 \implies \vec{v} = (1, 3)$

Vectorial: $(x,y) = (5, 3) + t(1, 3)$
Paramètrica: $\begin{cases} x = 5 + t \\ y = 3 + 3t \end{cases}$
Contínua: $\frac{x-5}{1} = \frac{y-3}{3}$
Explícita: $y = 3x - 12$
General: $3x - y - 12 = 0$