Calcula l'equació general de la recta que passa pels punts $A(0,-1)$ i $B(3,2)$.
Solució:
1. Trobem el vector director $\vec{v}$:
$$\vec{v} = \vec{AB} = (3 - 0, 2 - (-1)) = (3, 3)$$
Podem simplificar el vector director a $\vec{v} = (1, 1)$ per facilitar els càlculs.
2. Plantegem l'equació contínua amb el punt $A(0, -1)$:
$$\frac{x - 0}{1} = \frac{y + 1}{1} \implies x = y + 1$$
3. Passem tots els termes a un costat per obtenir la forma $Ax + By + C = 0$:
$$\boxed{x - y - 1 = 0}$$
b)
Donada la recta $x - 4y + 5 = 0$, troba'n un vector director i un punt.
Solució:
L'equació és de la forma $Ax + By + C = 0$, on $A=1$ i $B=-4$.
Vector director: Un vector director ve donat per $\vec{v} = (-B, A)$.
$$\vec{v} = (-(-4), 1) = (4, 1)$$
$$\boxed{\vec{v} = (4, 1)}$$
Punt: Donem un valor arbitrari a una de les variables, per exemple $y=0$:
$$x - 4(0) + 5 = 0 \implies x + 5 = 0 \implies x = -5$$
$$\boxed{P = (-5, 0)}$$
c)
Troba l'equació en forma general de la recta que passa pel punt $A(0,2)$ i té com a vector director $\vec{v} = (-2, 3)$.
Solució:
1. Sabem que en l'equació $Ax + By + C = 0$, el vector director és $(-B, A)$. Per tant:
$$-B = -2 \implies B = 2$$
$$A = 3$$
L'equació és de la forma: $3x + 2y + C = 0$.
2. Trobem $C$ substituint les coordenades del punt $A(0, 2)$:
$$3(0) + 2(2) + C = 0$$
$$0 + 4 + C = 0 \implies C = -4$$
3. L'equació general és:
$$\boxed{3x + 2y - 4 = 0}$$
d)
Determina l'equació paramètrica de la recta perpendicular a $r: x + y - 1 = 0$ que passa pel punt $P = (2, 5)$.
Solució:
1. Trobar el vector director de la recta donada:
L'equació $x + y - 1 = 0$ està en forma general $Ax + By + C = 0$, on $A=1$ i $B=1$. El seu vector director és $\vec{v_r} = (-B, A) = (-1, 1)$.
2. Trobar el vector director de la nova recta ($s$):
Com que la recta $s$ ha de ser perpendicular a $r$, el seu vector director $\vec{v_s}$ ha de ser perpendicular a $\vec{v_r} = (-1, 1)$.
Un vector perpendicular a $(a, b)$ és $(b, -a)$. Per tant:
$$\vec{v_s} = (1, 1)$$
(També podríem haver usat directament el vector normal de la recta $r$, que és $\vec{n} = (A, B) = (1, 1)$, ja que el vector normal d'una recta és perpendicular a ella).
3. Escriure les equacions paramètriques:
Utilitzem el punt $P = (2, 5)$ i el vector director $\vec{v_s} = (1, 1)$:
$$\begin{cases} x = P_x + t \cdot v_x \\ y = P_y + t \cdot v_y \end{cases}$$
$$\boxed{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 5 + t \end{cases}}$$