a) 1. Trobem el vector director $\vec{v}$: $$\vec{v} = \vec{AB} = (3 - 0, 2 - (-1)) = (3, 3)$$ Podem simplificar el vector director a $\vec{v} = (1, 1)$ per facilitar els càlculs. 2. Plantegem l'equació contínua amb el punt $A(0, -1)$: $$\frac{x - 0}{1} = \frac{y + 1}{1} \implies x = y + 1$$ 3. Passem tots els termes a un costat per obtenir la forma $Ax + By + C = 0$: $$\boxed{x - y - 1 = 0}$$

b) L'equació és de la forma $Ax + By + C = 0$, on $A=1$ i $B=-4$.

• Vector director: Un vector director ve donat per $\vec{v} = (-B, A)$. $$\vec{v} = (-(-4), 1) = (4, 1)$$ $$\boxed{\vec{v} = (4, 1)}$$
• Punt: Donem un valor arbitrari a una de les variables, per exemple $y=0$: $$x - 4(0) + 5 = 0 \implies x + 5 = 0 \implies x = -5$$ $$\boxed{P = (-5, 0)}$$

c) 1. Sabem que en l'equació $Ax + By + C = 0$, el vector director és $(-B, A)$. Per tant: $$-B = -2 \implies B = 2$$ $$A = 3$$ L'equació és de la forma: $3x + 2y + C = 0$. 2. Trobem $C$ substituint les coordenades del punt $A(0, 2)$: $$3(0) + 2(2) + C = 0$$ $$0 + 4 + C = 0 \implies C = -4$$ 3. L'equació general és: $$\boxed{3x + 2y - 4 = 0}$$

d) 1. Trobar el vector director de la recta donada: L'equació $x + y - 1 = 0$ està en forma general $Ax + By + C = 0$, on $A=1$ i $B=1$. El seu vector director és $\vec{v_r} = (-B, A) = (-1, 1)$. 2. Trobar el vector director de la nova recta ($s$): Com que la recta $s$ ha de ser perpendicular a $r$, el seu vector director $\vec{v_s}$ ha de ser perpendicular a $\vec{v_r} = (-1, 1)$. Un vector perpendicular a $(a, b)$ és $(b, -a)$. Per tant: $$\vec{v_s} = (1, 1)$$ (També podríem haver usat directament el vector normal de la recta $r$, que és $\vec{n} = (A, B) = (1, 1)$, ja que el vector normal d'una recta és perpendicular a ella). 3. Escriure les equacions paramètriques: Utilitzem el punt $P = (2, 5)$ i el vector director $\vec{v_s} = (1, 1)$: $$\begin{cases} x = P_x + t \cdot v_x \\ y = P_y + t \cdot v_y \end{cases}$$ $$\boxed{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 5 + t \end{cases}}$$