Donats els punts $A(-1, 2)$, $B(2, -2)$ i $C(5, 2)$, troba les coordenades del vèrtex $D(x, y)$ perquè el quadrilàter $ABCD$ sigui un rombe sabent que el segment $AC$ n'és la diagonal menor.
a)
En un rombe $ABCD$, si el segment $AC$ és una diagonal, els costats oposats han de ser paral·lels i iguals. Per tant, el vector $\vec{AD}$ ha de ser exactament igual al vector $\vec{BC}$.
1. Càlcul del vector $\vec{BC}$:
Trobem el vector que uneix els punts $B$ i $C$ restant les seves coordenades ($C - B$):
$$\vec{BC} = (5 - 2, 2 - (-2)) = (3, 4)$$2. Determinació del vèrtex $D$:
Apliquem aquest desplaçament al punt $A$ per tancar el paral·lelogram. El punt $D$ s'obté sumant el vector $\vec{BC}$ a les coordenades d'$A$:
$$D = A + \vec{BC}$$ $$D = (-1, 2) + (3, 4)$$ $$D = (-1 + 3, 2 + 4) = (2, 6)$$3. Verificació:
Comprovem que la distància entre els punts (el mòdul dels vectors) és la mateixa per confirmar que és un rombe:
$$|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$$ $$|\vec{AD}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$El resultat final és:
$$\boxed{D(2, 6)}$$