Llista Graella
Solucions individuals Solucions agrupades

Perímetres al pla

a)
Troba el perímetre del quadrilàter definit pels punts $A(-2, 3)$, $B(4, 5)$, $C(6, -1)$ i $D(0, -3)$.
Solució:

Per calcular el perímetre, trobarem la longitud de cada costat mitjançant la fórmula de la distància entre dos punts:

$$\large d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$
  • Costat $AB$: $d(A, B) = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} \approx 6.32$
  • Costat $BC$: $d(B, C) = \sqrt{(6 - 4)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{40} \approx 6.32$
  • Costat $CD$: $d(C, D) = \sqrt{(0 - 6)^2 + (-3 - (-1))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{40} \approx 6.32$
  • Costat $DA$: $d(D, A) = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 6^2} = \sqrt{40} \approx 6.32$

Atès que tots els costats són iguals ($d = \sqrt{40}$), la figura és un rombe. El perímetre total és:

$$P = 4 \cdot \sqrt{40} = 4 \cdot 2\sqrt{10} = 8\sqrt{10}$$ $$\boxed{P \approx 25.30 \text{ unitats}}$$
b)
Calcula el perímetre del triangle amb vèrtexs $A(-3, 1)$, $B(3, 1)$ i $C(0, 5)$.
Solució:

Calculem la longitud dels tres costats:

  • Costat $AB$: $d(A, B) = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$
  • Costat $BC$: $d(B, C) = \sqrt{(0 - 3)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
  • Costat $CA$: $d(C, A) = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

El perímetre s'obté sumant la longitud dels tres costats ($P = 6 + 5 + 5$):

$$\boxed{P = 16 \text{ u}}$$
c)
Troba el perímetre del quadrilàter definit per $P(1, -2)$, $Q(7, -2)$, $R(7, 2)$ i $S(1, 2)$.
Solució:

Calculem la longitud de cada costat aplicant la fórmula general de la distància entre dos punts:

  • Costat $PQ$: $d(P, Q) = \sqrt{(7 - 1)^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$
  • Costat $QR$: $d(Q, R) = \sqrt{(7 - 7)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$
  • Costat $RS$: $d(R, S) = \sqrt{(1 - 7)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$
  • Costat $SP$: $d(S, P) = \sqrt{(1 - 1)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$

El perímetre s'obté sumant la longitud dels quatre costats ($P = 6 + 4 + 6 + 4$):

$$\boxed{P = 20 \text{ u}}$$
d)
Calcula el perímetre del pentàgon amb vèrtexs $V_1(0, 0)$, $V_2(4, 0)$, $V_3(5, 3)$, $V_4(2, 6)$ i $V_5(-1, 3)$.
Solució:

Calculem la longitud de cada segment aplicant la fórmula de la distància:

  • Costat $V_1V_2$: $d(V_1, V_2) = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$
  • Costat $V_2V_3$: $d(V_2, V_3) = \sqrt{(5-4)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \approx 3.16$
  • Costat $V_3V_4$: $d(V_3, V_4) = \sqrt{(2-5)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{18} \approx 4.24$
  • Costat $V_4V_5$: $d(V_4, V_5) = \sqrt{(-1-2)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} \approx 4.24$
  • Costat $V_5V_1$: $d(V_5, V_1) = \sqrt{(0-(-1))^2 + (0-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10} \approx 3.16$

Sumem els valors exactes per obtenir el perímetre ($P = 4 + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{18} = 4 + 2\sqrt{10} + 6\sqrt{2}$):

$$\boxed{P \approx 18.80 \text{ u}}$$