Considerem la matriu de coeficients $A$ i la matriu ampliada $A'$ associades al sistema:
$$ A = \begin{pmatrix} a+1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & a+1 \\ 1 & a+1 & 2 \end{pmatrix}; \quad A' = \left( \begin{array}{ccc|c} a+1 & 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & a+1 & 3 \\ 1 & a+1 & 2 & -2 \end{array} \right) $$ 1. Càlcul del determinant i valors críticsCalculem el determinant de la matriu $A$ per estudiar el seu rang:
$$ |A| = \begin{vmatrix} a+1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & a+1 \\ 1 & a+1 & 2 \end{vmatrix} = (a+1)[2 - (a+1)^2] - 1[4 - (a+1)] + 2[2(a+1) - 1] $$Desenvolupant i simplificant l'expressió, obtenim:
$$ |A| = -a^3 - 3a^2 + 4a $$Igualem a zero per trobar els valors crítics i factoritzem traient factor comú $-a$:
$$ -a(a^2 + 3a - 4) = 0 \implies -a(a+4)(a-1) = 0 $$Els valors crítics que anul·len el determinant són $a = 0$, $a = 1$ i $a = -4$.
2. Discussió segons els valors de $a$ (Teorema de Rouché-Frobenius)Substituïm el valor $a = -2$ per obtenir la matriu ampliada del sistema (recordem que $a+1 = -1$):
$$ \left( \begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \end{array} \right) $$Apliquem transformacions elementals per fer zeros a la primera columna per sota del pivot $a_{11} = -1$ ($F_2 \rightarrow F_2 + 2F_1$ i $F_3 \rightarrow F_3 + F_1$):
La matriu resultant ja ens queda totalment triangulada gràcies a l'anul·lació directa de dos elements a la tercera fila:
$$ \left( \begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 3 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 4 & -4 \end{array} \right) $$Ara apliquem la substitució cap enrere començant des de l'última equació:
Recuperem l'expressió general del determinant calculada a la discussió: $|A| = -a^3 - 3a^2 + 4a$. Substituïm $a = -2$ per trobar el valor del determinant de la matriu principal:
$$ |A| = -(-2)^3 - 3(-2)^2 + 4(-2) = -(-8) - 3(4) - 8 = 8 - 12 - 8 = -12 $$Com que $|A| \neq 0$, es tracta d'un Sistema Compatible Determinat. Calculem els determinants $|A_x|$, $|A_y|$ i $|A_z|$ substituint la columna corresponent per la columna de termes independents $B = (-2, 3, -2)^T$:
$$ |A_x| = \begin{vmatrix} -2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -2(2 - 1) - 1(6 - 2) + 2(-3 - 2) = -2 - 4 - 2 = -8 $$ $$ |A_y| = \begin{vmatrix} -1 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = -1(6 - 2) - (-2)(4 + 1) + 2(-4 - 3) = -4 + 10 - 14 = -8 $$ $$ |A_z| = \begin{vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix} = -1(-2 + 3) - 1(-4 - 3) - 2(-2 - 1) = -1 + 7 + 6 = 12 $$Finalment, apliquem la fórmula de Cramer per a cada incògnita:
Com podem comprovar, els resultats coincideixen perfectament amb el mètode de Gauss. La solució del sistema és:
$$\boxed{x = \frac{2}{3}, \quad y = \frac{2}{3}, \quad z = -1}$$Com que la primera i tercera equació són idèntiques, el sistema es redueix a:
$$ \begin{cases} x + y + 2z = -2 \\ 2x + y + z = 3 \end{cases} $$Prenem $z = \lambda$ com a paràmetre:
Restant la primera a la segona: $(2x - x) + (y - y) = (3 - \lambda) - (-2 - 2\lambda) \implies x = 5 + \lambda$.
Substituint $x$ en la primera: $(5 + \lambda) + y = -2 - 2\lambda \implies y = -7 - 3\lambda$.
La solució general per a $a=0$ és:
$$\boxed{x = 5 + \lambda, \quad y = -7 - 3\lambda, \quad z = \lambda \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$Partint de la solució general del sistema per al cas $a=0$, recordem la parametrització obtinguda (on prenem $z = \lambda$):
$$ \begin{cases} x = 5 + \lambda \\ y = -7 - 3\lambda \\ z = \lambda \end{cases} $$L'enunciat ens demana trobar una solució particular que compleixi la nova condició:
$$ x - 5y = 0 $$Substituïm les expressions de $x$ i $y$ en funció de $\lambda$ dins d'aquesta equació:
$$ (5 + \lambda) - 5(-7 - 3\lambda) = 0 $$Desenvolupem els parèntesis i agrupem els termes per aïllar el paràmetre $\lambda$:
$$ 5 + \lambda + 35 + 15\lambda = 0 $$ $$ 40 + 16\lambda = 0 $$ $$ 16\lambda = -40 \implies \lambda = -\frac{40}{16} = -\frac{5}{2} $$Amb el valor específic de $\lambda = -\frac{5}{2}$, el substituïm a les equacions de la solució general per trobar els valors definitius de les tres incògnites:
Comprovem que la solució compleix la condició: $\frac{5}{2} - 5\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{5}{2} - \frac{5}{2} = 0$.
Per tant, la solució del sistema per a $a=0$ que satisfà la condició donada és:
$$\boxed{x = \frac{5}{2}, \quad y = \frac{1}{2}, \quad z = -\frac{5}{2}}$$Primer, substituïm el paràmetre $a=3$ per veure quin sistema inicial tenim, fixant-nos especialment en les dues primeres equacions que mantindrem intactes:
$$ \begin{cases} 4x + y + 2z = -2 \quad \text{(Equació 1)} \\ 2x + y + 4z = 3 \quad \text{(Equació 2)} \\ x + 4y + 2z = -2 \quad \text{(Equació 3 original)} \end{cases} $$Segons el Teorema de Rouché-Frobenius, perquè el sistema sigui incompatible (sense solució), el rang de la matriu de coeficients $A$ ha de ser estrictament menor que el rang de la matriu ampliada $A'$ ($\text{rang}(A) \neq \text{rang}(A')$).
Això s'aconsegueix si la part esquerra de la nova equació és una combinació lineal de les dues primeres, però els termes independents no respecten aquesta mateixa proporció. Geomètricament, busquem que hi hagi plans paral·lels no coincidents o que formin un prisma sense cap punt en comú.
La drecera més senzilla i visual és crear una contradicció directa. Podem fer que la nova tercera equació tingui exactament els mateixos coeficients per a la $x$, la $y$ i la $z$ que l'Equació 1, però igualada a un terme independent diferent de $-2$ (per exemple, $0$).
Proposem que la nova tercera equació sigui:
$$ 4x + y + 2z = 0 $$Si observem el nou sistema format:
$$ \begin{cases} 4x + y + 2z = -2 \\ 2x + y + 4z = 3 \\ 4x + y + 2z = 0 \end{cases} $$L'Equació 1 i la nova Equació 3 són una incongruència evident: una mateixa suma de valors ($4x+y+2z$) no pot donar $-2$ i $0$ alhora. Això garanteix que $\text{rang}(A) = 2$ i $\text{rang}(A') = 3$, convertint el sistema en incompatible.
Per tant, una possible modificació per a la tercera equació és:
$$\boxed{4x + y + 2z = 0}$$Nota: Podeu fer servir informació de l'apartat a) sense haver-la de justificar de nou.
Discussió del sistema homogeni
Considerem ara el sistema homogeni associat al mateix sistema de coeficients:
$$ \begin{cases} (a+1)x + y + 2z = 0 \\ 2x + y + (a+1)z = 0 \\ x + (a+1)y + 2z = 0 \end{cases} $$La matriu de coeficients és la mateixa que a l’apartat anterior:
$$ A = \begin{pmatrix} a+1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & a+1 \\ 1 & a+1 & 2 \end{pmatrix} $$Com que es tracta d’un sistema homogeni, sempre és compatible, ja que la solució $x=y=z=0$ sempre satisfà el sistema. A més, també sabem que $\text{rang}(A)=\text{rang}(A')$ per ser un sistema homogeni (afegir una columna de 0's no incrementarà el rang).
Per discutir el nombre de solucions utilitzem els resultats de rang obtinguts a l’apartat (a).
Cas $a \neq 0,1,-4$
De l’apartat anterior sabem que:
$$ |A| \neq 0 \Rightarrow \text{rang}(A)=3 $$Com que el rang coincideix amb el nombre d'incògnites, el sistema homogeni té únicament la solució trivial:
$$ (x,y,z)=(0,0,0) $$Per tant, el sistema és Compatible Determinat (SCD).
Cas $a = 0$, $a = 1$ o $a = -4$
De l’apartat (a) sabem que en aquests casos:
$$ \text{rang}(A)=2 $$Com que:
$$ \text{rang}(A)=2 < 3 $$el sistema homogeni té infinites solucions, que depenen d’un paràmetre lliure.
Per tant, el sistema és Compatible Indeterminat (SCI).
Resum de la discussió
$$ \boxed{ \begin{array}{ll} a \neq 0,1,-4 & \Rightarrow \text{SCD (única solució trivial)} \\ a = 0,1,-4 & \Rightarrow \text{SCI (infinites solucions)} \end{array} } $$Observació: A diferència del sistema de l’apartat (a), el sistema homogeni mai pot ser incompatible, ja que sempre admet almenys la solució trivial.