a)

Plantegem la integral definida en l'interval donat:

$$A = \int_{0}^{2} x^2 \, dx$$

Trobem la primitiva i apliquem la Regla de Barrow:

$$A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{0^3}{3} \right) = \frac{8}{3} - 0$$

El resultat final és:

$$\boxed{A = \frac{8}{3} \, u^2}$$

b)

La funció és positiva en aquest interval, per tant integrem directament:

$$A = \int_{1}^{4} (3x+1) \, dx$$

Integrem el polinomi:

$$A = \left[ \frac{3x^2}{2} + x \right]_{1}^{4}$$

Substituïm els límits d'integració:

$$A = \left( \frac{3(4)^2}{2} + 4 \right) - \left( \frac{3(1)^2}{2} + 1 \right)$$ $$A = \left( \frac{48}{2} + 4 \right) - \left( \frac{3}{2} + 1 \right) = (24 + 4) - (1,5 + 1) = 28 - 2,5$$

El resultat final és:

$$\boxed{A = 25,5 \, u^2 \quad \text{o} \quad \frac{51}{2} \, u^2}$$

c)

Expressem l'arrel com a potència per integrar: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.

$$A = \int_{0}^{9} x^{1/2} \, dx$$

Calculem la primitiva:

$$A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{9} = \left[ \frac{2}{3}\sqrt{x^3} \right]_{0}^{9}$$

Apliquem Barrow:

$$A = \frac{2}{3} \sqrt{9^3} - 0 = \frac{2}{3} \cdot 27 = 2 \cdot 9$$

El resultat final és:

$$\boxed{A = 18 \, u^2}$$