Extraiem factor comú $4x$ al numerador:

$$ \frac{4x^2 - 8x}{4x} = \frac{4x(x - 2)}{4x} = \frac{\cancel{4x}(x - 2)}{\cancel{4x}} = \boxed{x - 2} $$

El numerador és una diferència de quadrats (identitat notable $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$):

$$ \frac{x^2 - 36}{x + 6} = \frac{(x + 6)(x - 6)}{x + 6} = \frac{\cancel{(x + 6)}(x - 6)}{\cancel{x + 6}} = \boxed{x - 6} $$

El numerador és un quadrat perfecte ($(x+1)^2$) i al denominador extraiem factor comú $2$:

$$ \frac{x^2 + 2x + 1}{2x + 2} = \frac{(x + 1)^2}{2(x + 1)} = \frac{(x + 1)\cancel{(x + 1)}}{2\cancel{(x + 1)}} = \boxed{\frac{x + 1}{2}} $$

El numerador és diferència de quadrats i el denominador és el quadrat d'una resta:

$$ \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4} = \frac{(x + 2)(x - 2)}{(x - 2)^2} = \frac{(x + 2)\cancel{(x - 2)}}{(x - 2)\cancel{(x - 2)}} = \boxed{\frac{x + 2}{x - 2}} $$

Extraiem factor comú $x$ a dalt i a baix, i després apliquem identitat notable al numerador:

$$ \frac{x^3 - x}{x^2 + x} = \frac{x(x^2 - 1)}{x(x + 1)} = \frac{\cancel{x}(x + 1)(x - 1)}{\cancel{x}(x + 1)} = \frac{\cancel{(x + 1)}(x - 1)}{\cancel{x + 1}} = \boxed{x - 1} $$

Factoritzem el numerador resolent l'equació de segon grau ($x=2, x=3$) i el denominador per identitat notable:

$$ \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{(x - 2)\cancel{(x - 3)}}{(x + 3)\cancel{(x - 3)}} = \boxed{\frac{x - 2}{x + 3}} $$

Factoritzem el numerador amb Ruffini (arrel $x=1$) i el denominador és diferència de quadrats:

Numerador ($x^3-1$): $(x-1)(x^2+x+1)$
Denominador: $(x+1)(x-1)$

$$ \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{\cancel{(x - 1)}(x^2 + x + 1)}{(x + 1)\cancel{(x - 1)}} = \boxed{\frac{x^2 + x + 1}{x + 1}} $$

Factoritzem el numerador per Ruffini (arrels: $1, -1, 2$) i el denominador com a equació de segon grau (arrels: $1, 2$):

Numerador: $(x-1)(x+1)(x-2)$
Denominador: $(x-1)(x-2)$

$$ \frac{x^3 - 2x^2 - x + 2}{x^2 - 3x + 2} = \frac{(x - 1)(x + 1)(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{\cancel{(x - 1)}(x + 1)\cancel{(x - 2)}}{\cancel{(x - 1)}\cancel{(x - 2)}} = \boxed{x + 1} $$